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マイペース数学者のブログ

大阪在住数学者のブログです。どうしても、数学関連のことがメインになると思います。

ブログにも書ける整数論的特異点論

数学

最近書いていた新しい論文がひとまず完成したので、arXivにアップロードした。

https://arxiv.org/abs/1610.03593

論文タイトルはVojta's conjecture for singular varieties (特異代数多様体に対するVojtaの予想)。最近は、少なくとも数学では、論文を書いたらarXivなどのプレプリント・サーバーにアップロードして、世界中の人が見られるようにして、その後、雑誌に投稿して、査読を経て数年後に紙媒体などで出版されるというのが一般的な流れになっている。前の論文をarXivにアップしたのが去年の5月だったので、しばらく時間があいてしまった。

 

数学の研究成果を説明するには、普通たくさんの抽象的な理論や概念が必要となるので、専門家以外に説明するのが難しい、というのが数学者に共通の悩みの種だ。しかし、今回の研究で、ブログで書けるぐらいに簡単な定理を見つけたので、紹介したい。これは、僕の最近の研究テーマである「整数論特異点論」の中の一定理です。

 

定理は最大公約数と平面曲線の特異点を関係づけるものです。二つの整数a,bに対し、最大公約数\gcd(a,b)は、a,bの両方を割り切る最大の自然数と定義される。最大公約数は次のように不等式で上と下から押さえることができる。

 \displaystyle 1 \leqq \gcd(a,b) \leqq \min \{|a|,|b|\}

ここで考えたいのはa,bをいろいろ動かしたときに、\gcd(a,b)の大きさがどのように変化するか、という問題です。a,bが勝手な整数の組を動く場合には、上の不等式評価以上のものは得られない。a,bが互いに素な整数組を動けば、\gcd(a,b)=1であり、このような整数組は無数にありる。また、b\ne 0aの倍数であれば、

  \gcd(a,b) = |a| = \min \{|a|,|b|\}

となる。このような整数組も無数にある。

 

そこで、勝手な整数組ではなく、ある特定の条件を満たすものだけを考えてみよう。今回は条件として、ある整数を係数とする2変数多項式f(x,y)を最初に固定して、 f(a,b)=0となる整数組(a,b)だけを考えることにする。例として、互いに素な自然数 m \lt nに対して、

 \displaystyle f(x,y) = x^m - y^n

という多項式を考える。f(x,y)=0を満たす実数組(x,y)全体は平面内の曲線になる。 f(a,b)=0となる整数組(a,b)というのは、この曲線の点でx座標もy座標もともに整数であるような点と同じことです。

 

例えばm=2,\,n=3の場合、次の曲線になります。座標が整数の点は(0,0), (1,1), (1,-1), (4,8), (4,-8),...などです。

f:id:highernash:20161013203940j:plain

この曲線は原点のところが尖ったように見える。このような点は曲線の「特異点」と呼ばれる。特異点は、通常図形の解析を困難にする厄介者である一方で、多くの情報がそこに集約されている特別に大事な点でもある。この特異点の場所や複雑さが、今回の定理の鍵です。

 

一般に、 f(x,y) = x^m - y^nの場合、このような整数組はある整数cに対して (c^n,c^m)という形になる。そして、その最大公約数は

 \displaystyle \gcd(c^n,c^m) = c^m = \min\{|c^m|,|c^n|\}=\max\{|c^m|,|c^n|\}^{m/n}

となる。今回紹介する定理との関係で、最後に \maxを使った式も書いた。

 

次に、f(x,y)を少し変形して

 \displaystyle g(x,y) = (x+1)^m - (y+1)^n

という多項式を考える。曲線g(x,y)=0は曲線f(x,y)=0を平行移動した物になっている。原点が(-1,-1)に、(1,1)が原点に移動する平行移動です。このことから、曲線g(x,y)=0は原点を通るが、原点は特異点ではなく、そこではこの曲線は滑らかにカーブしている。g(a,b)=0を満たす整数組は、 (c^n-1,c^m-1)という形をしてるが、最大公約数は

 \gcd(c^n-1,c^m-1)=c-1

となる。これは、以下のように確かめられる。まず、 c^n-1,c^m-1はともにc-1で割り切れるので、c-1は公約数となる。c-1で二つの数を割ると、

\displaystyle c^{n-1} + c^{n-2}+\cdots+c+1,

\displaystyle c^{m-1} + c^{m-2}+\cdots+c+1,

となる。これらが互いに素であることを確かめれば良い。これは、ユークリッドの互除法と同様の議論で確かめられる。(ここで、m,nが互いに素であるという仮定を使う。)\gcd(c^n-1,c^m-1)の大体の大きさを見ることで、

 \gcd(c^n-1,c^m-1)=c-1 \doteqdot \max\{|c^n-1|,|c^m-1|\}^{1/n}

という評価が得られる。

 

最後にもう一つ、

 \displaystyle h(x,y)=x^m - (y+1)^n

という多項式を考えます。曲線 h(x,y)=0も曲線 f(x,y)=0の平行移動です。今度の曲線は原点を通らない。 h(a,b)=0を満たす整数組は(c^n,c^m-1)という形だが、この二つの整数は互いに素なので、

 \gcd(c^n,c^m-1)=1=\max\{|c^n|,|c^m-1|\}^{0/n}

となる。

 

まとめると、三つの多項式 f(x,y),\,g(x,y),\,h(x,y)のそれぞれに対して、対応する方程式を満たす整数組a,bの最大公約数は

 \gcd(a,b) \doteqdot \max\{|a|,|b|\}^{r/n}

という形の近似式を満たし、rの値はそれぞれm,1,0となる。種明かしをすると、このrの値は曲線の原点での「重複度」と呼ばれる値です。重複度が0だと、その曲線は原点を通らず、重複度が1だと原点を通り、曲線はそこで滑らかで、重複度が 2以上だと原点を通り、原点は曲線の特異点となる。さらに、重複度が大きいほど、特異点が複雑になる。重複度は特異点の複雑さを数値化したものだと言うことができる。代数的には、原点での重複度は多項式を展開して整理したときに出てくる項の最小の次数です。例えば、g(x,y)を展開するとmx-nyという1次の項が出てくるので重複度は1h(x,y)は定数項-1が出てくるので重複度は0という具合です。ちなみに、出てくる項の最大の次数が、その多項式の次数であり、それが分数r/nの分母として現れている。

 

上と同様のことが、もっと一般の多項式の場合でも成り立つというのが紹介したかった定理です。正確に書くと次のようになる。

 

定理:f(x,y)を係数が整数の2変数多項式で既約(因数分解できない)ものとする。rを曲線f(x,y)=0の原点での重複度とする。このとき、f(a,b)=0を満たす全ての整数組(a,b) \ne (0,0) が不等式

 \displaystyle C \max\{|a|,|b|\}^{r/n} \leqq \gcd (a,b) \leqq C' \max\{|a|,|b|\}^{r/n}

を満たすような定数C,C' \gt 0が存在する。

 

証明はここには書けないけれど、専門家にとっては、とても基本的なことしか使わない簡単な物です。証明も内容も簡単な定理なので、既に知られているかもと思ったけれど、少し調べた範囲では見つからなかったので、論文にも書くことにした。簡単だけど、一見するととても不思議な定理で、気に入っている。

 

(書いているうちに文体が変わってしまう症候群にいまだに悩まされ中)

 

2016/11/06:この記事を再利用するために、勢いで書いた最後の締めの一句は削除した。

 

電子工作 ラインビートル

工作 日常

ラズベリーパイを買って、電子工作をしようと意気込んでいたけれど、なかなか難しそう。まずは初心者でもできそうな物をと探していて、マルツオンラインで工作キットを二つ購入。光を感じると回る扇風機(スクリュー?)と、線に沿って走るラインビートル。

www.marutsu.co.jp

www.marutsu.co.jp

 

まずは、簡単な扇風機を以前作って、できたのがこれ。

 

 

しかし、その後電子工作への熱が少し冷めたのと、体調を崩したり、他のことで忙しくなったりして、もう少し作るのが難しそうなラインビートルの方はほったらかしになっていた。それでも、たびたびこどもが「もう一つの工作して」とせっついてくるので、一昨日の夜に一念発起して作成開始。人生初の半田ごて(子供のときに使ったことがあるかもしれないが、ちゃんとした記憶が無いので初めてということにしておこう)を、ネットで使い方を勉強しながら、せっせと電子回路を製作。かなり歪な形についた半田もあるけど、大きな失敗も無く初めてにしてはまあまあの出来映えのつもりだった。深夜まで、小さな回路を眺めていたらかなり目が疲れた。

 

昨日の朝、子供の前で試したら、片方のLEDしか光らなかったので、回路図と見比べてみると、一カ所繋がっていないところがあったので、昨夜そこだけ半田付けして回路は完成。(半田付けの最中に、子供二人に周りでうろちょろされると危険きわまりないので、子供が寝てからやった。)さらに、要らないタッパーに穴を開けて、回路を取り付け。今日、大学からの帰りにコーナンによって両面テープを買い、モーターをタッパーの両側に取り付けて完成。

 

ラインビートルの仕組みは、LEDで地面を照らして反射した光を二つのフォトトランジスタで感知して両側に付いたモーターが回る。下が黒いと、そちら側のモーターの回転が遅くなり、曲がるというわけ。感度の調整がかなり微妙で、成功するまで何度も試行錯誤して、やっと撮影できたのがこれ。

 


2016 09 13 10 14 58

 

まだ、ラズパイは接続してないけど、少しずつ複雑な物を作っていきたい。でも、次回はまた数ヶ月後かな。

「Narcos」と「ウーナとババの島」

日常

 前に書いたけど、Netflixを契約して、ドラマや映画などをたまに見ている。前は「マルコ・ポーロ」という、マルコ・ポーロがクビライ・ハーンが支配する元朝で活躍するという内容のドラマを見て、面白かった。最近、シーズン2が配信されたので、1話見たけれど、少し飽きてきたので、その後は見ていない。

highernash.hatenablog.com

 

次のドラマとして、最近はまって一気に見てしまったのが「Narcos」。コロンビアの有名な麻薬王、パブロ・エスコバルの話。ドラマでは、貧しい子供時代からのし上がったみたいに言ってたけど、ウィキペディアで調べた中流家庭に育ったとある。そうだとしたら、話が変わってくるなあ。何にしても、ドラマは面白くてシーズン2が待ち遠しい。制作者サイドの策略にまんまとはまっている。

 

子供達が最近気に入っているのは「ウーナとババの島」というアニメ。島で暮らすウーナとババという名前の鳥の日常を描くんだけど、いろんな動物の生態とかが分かって面白い。

 

Netflixの回し者じゃないけれど、ネットでこんなに快適にドラマや映画が見られるようになったのには、技術の進歩を感じる。もう少し映画のラインナップが充実したら、もっと良いんだけど。

カメラ犬的な何か

日常

ラズベリーパイとウェブカメラで、カメラ犬的な何かを作ってみた。虫やら植物やらの観察をしたいのだけど、観察対象がまだ家に無い。

 

電子工作したいとか言ってたけど、単にUSBをラズベリーパイに差し込んだだけで、段ボール工作がメインになってしまった、、、

 

作った後で、頭も段ボールで覆った方がいい気もしてきたけど、眠くなってきたので今日はこの辺で。

 

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京都で研究集会

数学 仕事

先週(6月13日からの週)は月曜から金曜まで、京大の数理解析研究所で研究集会に参加してきた。研究集会の名前は「Non-commutative crepant resolutions, Ulrich modules and generalizations of the McKay correspondence」で、僕の興味に近い講演が多くて面白かった。

 

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~y-ito/rims2016.html

 

僕も講演したんだけど、今回はいつも以上に頑張って準備した。理由は、最終日の最終講演だったこともあるけれど、それ以上に前の週に英語プレゼンのレッスンを阪大で受けて、その中で

  • 講義スタイルのつまらない講演はしないこと、
  • 聴衆にインパクトを与えて楽しませること、
  • 聴衆の目をしっかりみて、場をコントロールすること、

などを言われてきたことが大きい。さらに、次回のレッスンでチェックするために、ビデオを撮ってくるように言われていた。前の週のレッスン前に一応講義準備は済ませていたけど、準備をやり直すことにした。講演は金曜日だったので、それまでにホテルや御所のベンチや(たくさん蚊に食われた)、(知るカフェとかいう、学生だけが入れるカフェを羨ましく思いながら)モスバーガーで準備をした。

 

講演前には、聴衆の方をしっかり見て話すことをあんなに自分に言い聞かせていたのに、いざ講演が始まると頭の中が数学で一杯になってしまって、結局ほとんど黒板の方や、手持ちのノートを見ていた気がする。次回のレッスンが少し怖いけど、一杯だめ出しをしてもらおう。

 

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少ししかない聴衆を向いているショット。聴衆が写っていないけど、二列目以降にちゃんといます。

 

研究集会には代数幾何の教科書で有名なハーツホーンさんが参加されて。近くに座っていたので、以前から気になっていた名前の正しい発音が「ハーツホーン」なのか、「ハートショーン」なのかを質問したら、「ハーツホーン」が正しいという答えだった。そのことを英語ネイティブの人に言ったらビックリしていたので、読み方が難しい名前のようだ。まだ研究も精力的にされていて、日本語も上手に話されていて感心した。

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