マイペース数学者のブログ

大阪在住数学者のブログです。どうしても、数学関連のことがメインになると思います。

クロネッカー代入

最近読んでいるBombieri-Gubler, Heights in Diophantine Geometryでクロネッカー代入(Kronecker substitution)という手法が出てきて、ちょっと面白いなと思ったので紹介します。この手法自体は、ディオファントス幾何とあまり関係ないと思う。

 

Kronecker substitution - Wikipedia, the free encyclopedia

 

ウィキペディアによると整数係数の多項式の変数に2の高い冪(べき)を代入して得られる整数を2進法表示すると、元の多項式の係数が現れる。従って、多項式の係数の計算などを整数の計算に帰着できるということらしい。たぶん、コンピューターによる計算の高速化が主な応用なので、2進法を使ってるけど、アイデア自体はn進法でも同じだと思う。10進法で説明すると、

 f(x) = 32 x^2 + 5 x + 11

という多項式 x = 10^3 = 1000を代入すると、

 f(10^3) = 32000000 + 5000 + 11 = 32005011

となり、 f(x)の係数 32, 5, 11が10進法表示に現れる。

 

Bombieri-Gublerに書いてあったのは似てるけど少し違って、多変数多項式を1変数多項式に帰着する方法。n変数の項式

 \displaystyle x_0 ^{a_0} \cdots x_{n-1}^{a_{n-1}}

 x_i = t^{m^{i}}を代入すると、

 \displaystyle t^{a_{n-1} m^{n-1}+ \cdots+ a_1 m + a_0 }

となる。もしmが全てのa_iより大きければ、tの右肩に乗っている指数はm進法表示でa_n a_{n-1} \dots a_0(積ではない!)となる。いまn変数項式に十分大きなmで同じ代入をすると1変数多項式で、元の多項式と項が1対1対応し、対応する項の係数が等しいものが得られる。

 

面白いけど、初めて知ったから、あんまり純粋数学では活用されてないだろうか?

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JavaScript & Mordell-Weilの勉強

帰国後にインターネット・プロバイダーに申し込んだのだけど、その工事が今日来て、ようやく我が家もネットに繋がった。4月からの子供の通園に向けて、自転車を買うなど、まだまだ新生活に向けた準備という感じの毎日を過ごしている。

 

数日前からJavaScriptを勉強し始めた。とある複数の目的のためにオイラーゲッターの四角ボード版のゲームバランスを検証したくなったので、そのプログラムを書こうと思っている。六角マスの平行四辺形ボード版はすでにJavaScriptで書かれたものがあるけど、自分でいろいろいじりたいので。

 

Euler Getter(ゲーム) - 安田健彦のホームページ

OO Euler Getter ED w/ Javascsript

 

ブログ説明に数学の話が中心になるとか書いたけど、はてなブログに引っ越してから数学の話はほとんど書いてなかった。でも、ここからは数学の話。

4月からの大学院生向け講義の準備の中でMordell-Weilの定理の証明を勉強した(これを、講義でやるかは分からないけれど)。

 

Mordell-Weilの定理:数体k上定義されたアーベル多様体Ak点の成すアーベル群A(k)は有限生成である。

 

Bombieri-Gublerの本によると、標準的な証明は以下のステップを踏むらしい。まず、2以上の整数mに対し商群A(k)/mA(k)が有限群であるという、いわゆる弱Mordell-Weilの定理を証明。弱Mordell-Weilの定理の証明は、Chevalley-Weilの定理から有限拡大l/kが存在して、m写像によりAの任意のk点はAl点に持ち上がるということと、クンマー・ペアリングというものを用いる。そして、弱モーデル・ヴェイユの定理とフェルマーの降下法というものを用いて証明が完成する。フェルマーの降下法とは、任意の有理点から初めて、「高さ」のどんどん小さい点を構成する方法。

 

思ったより短い証明だった。まだ極意を体得してないけど、なんか面白いね。

 

 

帰国

2月29日に帰国した。出発当日に今度は長男が熱を出して心配したけど、出発前に知り合いからもらった解熱剤を飲んだら、道中は元気にしていた。飛行機は夜に出る便だったので、子供達は結構眠っていたので、1年前にドイツに飛んだときよりは楽だった。僕は、機内でラグビーの日本対南アフリカの試合を見ていたんだけど、残り1分ぐらいで着陸のため見られなくなってしまいモヤモヤしたまま日本に到着した。

 

入国審査でいきなり「機械が壊れたので、となりの窓口へ行ってください」と言われる、トラブルが発生したけれど、その後はエレベーターがスムーズに動いてくれたりすることに日本を感じた。スーツケースなどを羽田から家に送ったら、時間通りに家について少し感動した。ドイツとフランスでは宅配便で少し苦労したので。

 

大学ではたまっていた郵便物を整理したり、パソコンのOSが古くてセキュリティに問題がありそうだったので、最新のOSにアップデートしたりして、まだ本格的に始動できていない。来週には始動したい。4月からはゼミの学生がたくさん来るみたいなので賑やかになりそう。

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ガスパッチョ不評

いよいよ明日、帰国の途につく。最近は「フランスで??するのこれが最後だね」と子供によく言っている。「学校行くの今日で最後だね」、「この景色見るの最後だね」、「フランスで風呂に入るの最後だね」、「フランスでパン屋さんに行くの最後だね」などなど。さらばクロワッサン。納豆食べたい。ドイツでは納豆をたまに食べてたけど、フランスでは一度も食べられなかった。

 

帰国直前に風邪でダウンした妻のために、今日は息子二人と僕の三人でスーパーに行き、牛乳パックみたいな入れ物に入ったガスパッチョを見つけたので、つらいときでも飲みやすいかなと思って購入。しかし、家族全員から不評。次男は飲んだ瞬間に泣き出す始末。美味しいけどな〜。明日の朝と昼も一人でガスパッチョ飲みますよ。

 

幸い妻も回復してきた様子。なんとか帰国できそう。

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Opposites続編希望

bloggerからはてなブログへの引っ越しが完了。初のちゃんとした記事の投稿。

 

帰国まであと1週間を切った。別れの季節です。この1週間ぐらいは、仲良くなった人たちと別れの挨拶をすることが多かった。いろんな国の人と知り合えたから、いつか訪ねていって再会したい。

 

ところで、世界中で大人気のエリック・カールの絵本にOppositesっていうのがある。

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youngとold、highとlow、という具合に反対語を絵とともに見ていくんだけど、次男が結構好きで、自分でも「オーールドゥ!!」とか声に出して言っている。ここに出てこない反対語でも、思いつくだけでもhotとcold、heavyとlightとかいくらでもあるから、続編が出たらいいなあ。

 

反対語を使うアイデアは単純だし、前からあったようで、こんなのもあった。

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でも、絵本はやっぱり絵で雰囲気が完全に変わるし、エリック・カールの絵はやっぱりいいね。

 

 

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