マイペース数学者のブログ

大阪在住数学者のブログです。どうしても、数学関連のことがメインになると思います。

JavaScript & Mordell-Weilの勉強

帰国後にインターネット・プロバイダーに申し込んだのだけど、その工事が今日来て、ようやく我が家もネットに繋がった。4月からの子供の通園に向けて、自転車を買うなど、まだまだ新生活に向けた準備という感じの毎日を過ごしている。

 

数日前からJavaScriptを勉強し始めた。とある複数の目的のためにオイラーゲッターの四角ボード版のゲームバランスを検証したくなったので、そのプログラムを書こうと思っている。六角マスの平行四辺形ボード版はすでにJavaScriptで書かれたものがあるけど、自分でいろいろいじりたいので。

 

Euler Getter(ゲーム) - 安田健彦のホームページ

OO Euler Getter ED w/ Javascsript

 

ブログ説明に数学の話が中心になるとか書いたけど、はてなブログに引っ越してから数学の話はほとんど書いてなかった。でも、ここからは数学の話。

4月からの大学院生向け講義の準備の中でMordell-Weilの定理の証明を勉強した(これを、講義でやるかは分からないけれど)。

 

Mordell-Weilの定理:数体k上定義されたアーベル多様体Ak点の成すアーベル群A(k)は有限生成である。

 

Bombieri-Gublerの本によると、標準的な証明は以下のステップを踏むらしい。まず、2以上の整数mに対し商群A(k)/mA(k)が有限群であるという、いわゆる弱Mordell-Weilの定理を証明。弱Mordell-Weilの定理の証明は、Chevalley-Weilの定理から有限拡大l/kが存在して、m写像によりAの任意のk点はAl点に持ち上がるということと、クンマー・ペアリングというものを用いる。そして、弱モーデル・ヴェイユの定理とフェルマーの降下法というものを用いて証明が完成する。フェルマーの降下法とは、任意の有理点から初めて、「高さ」のどんどん小さい点を構成する方法。

 

思ったより短い証明だった。まだ極意を体得してないけど、なんか面白いね。